Презентація на тему «Ймовірності випадкових подій. Аналіз випадкових величин»

Виконали учні 11-А класу
Михайлюк Святослав
Нізієнко Костянтин
Ймовірності випадкових подій. Аналіз випадкових величин

2
ЗМІСТ
Випадкова подія.
Статистичне та класичне означення ймовірності випадкової події.
Теоретико-множинний розгляд випадкових подій.
Умовна ймовірність.
Теореми множення ймовірностей.
Теореми додавання ймовірностей.
Аналіз випадкових величин

3
Основні поняття теорії ймовірностей
Теорія ймовірностей вивчає масові випадкові події, які характеризуються стійкою частотою їх появи.
Випадковою подією в теорії ймовірності називають всякий факт, який в результаті досліду (спостереження) може відбутися або не відбутися.
Різні випадкові події позначаються латинськими буквами А, В, С… .

4
Сумою подій Аі називають таку подію C =  Ai , яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається принаймні одна з подій Аі.

5
Приклад.
Подія A – “випадання цифри 1 при одноразовому підкиданні грального кубика”. Подія B – “випадання цифри 2 при одноразовому підкиданні грального кубика”.
Сумою A+B зазначених подій є подія C – “випадання цифри, не більшої двох, при одноразовому підкиданні грального кубика”.

6
Операції над подіями
Добутком подій А · В називають таку подію С, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбуваються обидві події А і В
Щоб отримати добуток подій А  В, треба взяти всі ті елементарні події, які одночасно сприяють обом подіям А та В.
Події А та В називають несумісними, якщо А В = 

7
Добутком подій Аі називають таку подію яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається кожна з подій Аі.

8
Приклад.
Подія A – “студент отримав екзаменаційний білет з парним номером”.
Подія B – “студент отримав екзаменаційний білет з номером, кратним трьом”. Добутком A×B зазначених подій є подія C – “студент отримав екзаменаційний білет з номером, кратним шести”.

9
Операції над подіями
Різницею А  В подій А та В називають таку подію С, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається подія А і не відбувається подія В.
Різницю   А називають подією, протилежною до події А і позначають Ā

10
Означення випадкової події
Випадковими подіями або просто подіями називають такі підмножини простору Ω, які утворюють деяку сукупність S, що задовольняє три основні умови:
1s.   S
- вірогідна подія завжди належить цій сукупності;
2s. Якщо А  S, то Ā  S
- кожна подія належить цій сукупності разом зі своєю протилежною подією;
3s. Якщо Аi  S, i  N, то  Аi  S
- для будь-яких подій, що належать даній сукупності, їх сума також належить цій сукупності.
Таку сукупність S називають простором подій. Кожну підмножину , що входить до S, вважають подією, а всі інші підмножини Ω не вважають подіями.

11
Простір випадкових подій
Простір подій S можна утворювати багатьма способами. Головним при побудові простору подій є виконання основних властивостей подій 1s – 3s, які можна назвати правилами побудови простору подій або правилами визначення випадкових подій.
Наприклад, при підкиданні грального кубика простір елементарних подій   1, 2, 3, 4, 5, 6. Нам важливо, щоб подією було випадання парної кількості очок. Тоді в S повинні входити Ω, , А = {2, 4, 6} (за умовою завдання) і Ā= {1, 3, 5} (за властивістю 2s).
Cукупність , , 1, 3, 5, 2, 4, 6 можна вважати простором випадкових подій S і при цьому кожен елемент цієї сукупності є випадковою подією. Усі інші підмножини  при цьому не вважаються подіями.

12
Статистична ймовірність події
Нехай дано експеримент і визначено простір елементарних подій  та простір подій S. Для цього експерименту проведено n випробувань і при цьому фіксована елементарна подія е   відбулася m раз, 0 ≤ т ≤ n.
Число m випробувань, у яких відбулася елементарна подія е називається її абсолютною частотою, а відношення m до n називається відносною частотою елементарної події е в даній серії з n випробувань.
Відносна частота елементарної події е характеризує середню можливість її відбування у кожному з n випробувань.
Позначається і обчислюється за формулою

13
Статистична ймовірність і кількість випробувань
Статистична ймовірність події може залежати від кількості n випробувань і, зрозуміло, що коли змінюється кількість випробувань, то може змінюватися і статистична ймовірність. Виникає питання – на скільки суттєві такі зміни?
Розглянемо приклад.
1. В таблиці подано результати експерименту з підкиданням монети. Було проведено 10 серій з 1000 підкидань:

14
Визначення ймовірності події
За умови рівноможливості елементарних подій, що утворюють простір , ймовірність будь-якої події А обчислюється за формулою
де k – кількість елементарних подій, що сприяють події А, т – кількість усіх елементарних подій простору .
Обчислення ймовірностей за вказаним правилом називають обчисленням ймовірності події за класичною схемою.

15
Властивості ймовірності події

16
Алгоритмічний припис обчислення ймовірності події за класичною схемою
Опиши експеримент, про який йдеться в умові задачі та відповідний простір елементарних подій .
Обґрунтуй рівноможливість елементарних подій і визнач, з яких елементарних подій складається подія А.
Визнач кількість т елементарних подій простору Ω.
Визнач кількість k елементарних подій, що сприяють події А.
Обчисли ймовірність події А за формулою

17
Комбінаторика
При розв'язуванні задач з теорії ймовірностей не завжди можливо побудувати повну групу елементарних подій через великий обсяг роботи. Тому обмежуються тільки обчисленням кількості всіх елементарних подій, а також кількості тих із них, що сприяють
певній випадковій події. При цьому використовують правило множення, перестановки, розміщення та комбінації.