Презентація на тему «Перерізи многогранників»

Перерізи многогранників
Робота Роговченко Тетяни, 10-А

Многогранник – це геометрична фігура, частина простору, обмежена замкненою поверхнею, що складається з певної кількості плоских многокутників, так званих граней багатогранника.
грань
ребро
вершина
Мінімальний тороїдальний багатогранник

Правильний багатогранник – це опуклий багатогранник з максимально можливою симетрією.
Багатогранник називається правильним, якщо:
він опуклий;
всі його грані є рівними правильними многокутниками;
в кожній його вершині сходиться однакове число граней;
всі його двогранні кути рівні.
Існує всього п'ять видів правильних многогранників: тетраедр(чотиригранник), куб(шестигранник), октаедр(восьмигранник), додекаедр(дванадцятигранник) та
ікосаедр(двадцятигранник).

Правильні многогранники
Тетраедр називається правильним, якщо всі його грані – рівносторонні трикутники. У правильного тетраедра всі двогранні кути при ребрах і всі тригранні кути при вершинах рівні.
Кількість вершин кутів – 4.
Кількість ребер – 6.
Кількість граней – 4.
Тетраедр
(трикутна піраміда)

Куб
Куб або гексаедр – правильний багатогранник, кожна грань якого є квадратом. Окремий випадок паралелепіпеда і призми.
Кількість вершин кутів – 8.
Кількість ребер – 12.
Кількість граней – 6.

Октаедр
 
Кожна грань октаедру – правильний трикутник.
Кількість вершин кутів – 6.
Кількість ребер – 12.
Кількість граней – 8.

Додекаедр – об'ємна геометрична фігура, складена з дванадцяти правильних п'ятикутників.
Кількість вершин кутів – 20.
Кількість ребер – 30.
Кількість граней – 12.
Додекаедр

В ікосаедрі кожна грань є правильним трикутником.
Кількість вершин кутів – 20.
Кількість ребер – 30.
Кількість граней – 12.
Ікосаедр

Утворення перерізу
Переріз многогранника – перетин многогранника січною площиною; фігура, що складається з усіх спільних точок геометричної фігури і січної площини.
Переріз

Площину перерізу можна задати:
1. Трьома точками, що не лежать на одній прямій.
2. Прямою і точкою, що не лежить на ній.
3. Двома прямими, що перетинаються.
4. Двома паралельними прямими.

Січна площина перетинає грані многогранника по відрізкам, тому перерізом многогранника є многокутник, що лежить в січній площині. Очевидно, що кількість сторін цього многокутника не може перевищувати кількості граней даного многогранника. Наприклад, в чотирикутній призмі (всього 6 граней) в перерізі можемо отримати трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник.

Існують різні методи побудови перерізів. Найбільш поширений у практиці – метод слідів, який полягає в тому, що на площині нижньої основи (іноді на якійсь іншій площині) виконується побудова прямих, по якій площина перерізу перетинає площину будь-якої грані многогранника, – слідів.
C
B
А
За допомогою їх виконується побудова точок перетину січної площини з ребрами многогранника та ліній перетину січної площини з гранями многогранника.

Існують різні методи побудови перерізів. Найбільш поширений у практиці – метод слідів, який полягає в тому, що на площині нижньої основи (іноді на якійсь іншій площині) виконується побудова прямих, по якій площина перерізу перетинає площину будь-якої грані многогранника, – слідів.
C
B
А
За допомогою їх виконується побудова точок перетину січної площини з ребрами многогранника та ліній перетину січної площини з гранями многогранника.

Існують різні методи побудови перерізів. Найбільш поширений у практиці – метод слідів, який полягає в тому, що на площині нижньої основи (іноді на якійсь іншій площині) виконується побудова прямих, по якій площина перерізу перетинає площину будь-якої грані многогранника, – слідів.
C
B
А
За допомогою їх виконується побудова точок перетину січної площини з ребрами многогранника та ліній перетину січної площини з гранями многогранника.

A
B
C
D
A1
B1
D1
C1
L
M
K
N
E
F
G
P
H
Q
Побудувати переріз куба площиною, яка проходить через три задані точки K, L, M, що лежать на ребрах, які не перетинаються.

А
D
В1
В
С
А1
C1
D1
О
Р
К
Метод зручний при побудові перерізів в тих випадках, коли незручно знаходити слід січної площини.
Побудувати переріз через точки К,Р,О.
(АА1РР1)
(DD1ОО1)
Р1
Площина (DD1ОО1) визначається паралельними прямими DD1 і OO1. Площина (АА1РР1) визначається паралельними прямими АА1 і РР1.
О1
Метод внутрішнього проектування

А
D
В1
В
С
А1
C1
D1
О
Р
К
Р1
О1
М
М1
(АА1РР1)
(DD1ОО1)
(АА1РР1) ∩ (DD1ОО1)=ММ1

А
D
В1
В
С
А1
C1
D1
О
Р
К
Р1
О1
(АА1РР1)
(DD1ОО1)
(АА1РР1) ∩ (DD1ОО1)=ММ1
КР ∩ ММ1=М2
М
М1
М2

А
D
В1
В
С
А1
C1
D1
О
Р
К
Р1
О1
М
М1
М2
S
Точка S належить шуканому перерізу
(АА1РР1)
(DD1ОО1)
(АА1РР1) ∩ (DD1ОО1)=ММ1
КР ∩ ММ1=М2
ОМ2 ∩ DD1=S

А
D
В1
В
С
А1
C1
D1
О
Р
К
Р1
О1
М
М1
М2
S
(АА1РР1)
(DD1ОО1)
(АА1РР1) ∩ (DD1ОО1)=ММ1
КР ∩ ММ1=М2
ОМ2 ∩ DD1=S
SP ∩ CC1=H
H
Точки S і Р лежать на правій грані, шуканий переріз перетинає межу по SР

А
D
В1
В
С
А1
C1
D1
О
Р
К
Р1
О1
М
М1
М2
S
H
Точки O і H лежать на задній грані, шуканий переріз перетинає межу по OH
(АА1РР1)
(DD1ОО1)
(АА1РР1) ∩ (DD1ОО1)=ММ1
КР ∩ ММ1=М2
ОМ2 ∩ DD1=S
SP ∩ CC1=H
7. OH ∩ BB1=L
L

А
D
В1
В
С
А1
C1
D1
О
Р
К
Р1
О1
М
М1
М2
S
H
Точки К і S лежать на передній грані, шуканий переріз перетинає межу по SK
(АА1РР1)
(DD1ОО1)
(АА1РР1) ∩ (DD1ОО1)=ММ1
КР ∩ ММ1=М2
ОМ2 ∩ DD1=S
SP ∩ CC1=H
7. OH ∩ BB1=L
8. SK
L

А
D
В1
В
С
А1
C1
D1
О
Р
К
Р1
О1
М
М1
М2
S
H
Точки K і L лежать на лівій грані, шуканий переріз перетинає межу по VK
L
V
(АА1РР1)
(DD1ОО1)
(АА1РР1) ∩ (DD1ОО1)=ММ1
КР ∩ ММ1=М2
ОМ2 ∩ DD1=S
SP ∩ CC1=H
7. OH ∩ BB1=L
SK
KL ∩ AB1=V

А
D
В1
В
С
А1
C1
D1
О
Р
К
Р1
О1
М
М1
М2
S
H
Точки O і V лежать на верхній грані, шуканий переріз перетинає межу по VO
L
V
Отже, KVOHS – шуканий переріз.
(АА1РР1)
(DD1ОО1)
(АА1РР1) ∩ (DD1ОО1)=ММ1
КР ∩ ММ1=М2
ОМ2 ∩ DD1=S
SP ∩ CC1=H
7. OH ∩ BB1=L
SK
KL ∩ AB1=V
10. OV

Практичне значення перерізів
Перерізи найчастіше застосовують для того, щоб показу­вати поперечну форму предметів (рукояток, гайкових клю­чів, слюсарних інструментів, деталей з прокату різного про­філю) та форму отворів, заглибин, зрізів та вирізів на повер­хнях округлих деталей тощо. Перерізи є невід'ємною частиною нашого повсякденного життя, вони
зустрічаються у різних ситуаціях: у побуті, у столярстві, токарстві і т.д. Також
перерізи використовуються у кресленні,
конструкторській
практиці.

Практичне значення перерізів
Перерізи найчастіше застосовують для того, щоб показу­вати поперечну форму предметів (рукояток, гайкових клю­чів, слюсарних інструментів, деталей з прокату різного про­філю) та форму отворів, заглибин, зрізів та вирізів на повер­хнях округлих деталей тощо. Перерізи є невід'ємною частиною нашого повсякденного життя, вони
зустрічаються у різних ситуаціях: у побуті, у столярстві, токарстві і т.д. Також
перерізи використовуються у кресленні,
конструкторській
практиці.

Дякую за
увагу!